Mínimo común múltiplo y máximo común divisor

El mínimo común múltiplo y el máximo común divisor son dos cálculos matemáticos. El mínimo comúm múltiplo calcula el múltiplo más pequeño en común para dos o más números. El máximo común divisor obtiene el divisor de mayor valor de dos o más números . Ambos cálculos se obtienen a partir de la llamada descomposición en factores primos, y se aprende en sexto de Primaria.

El máximo común divisor se expresa mediante las siglas MCD. Por otra parte, el mínimo común múltiplo se expresa mediante las siglas: MCM. Generalmente, ambos se aprenden juntos, en sexto de Primaria. La razón de que tanto el mínimo común múltiplo como el máximo común divisor se aprendan juntos, es que ambos se calculan a partir de la descomposición en factores primos.

Para indicar el mínimo común múltiplo de dos números, lo expresamos de la siguiente forma: m.c.m (a, b), donde a y b son dos números cualquiera. Por ejemplo, para indicar el mínimo común múltiplo de 12 y 18 sería: m.c.m (12, 18). Para calcular el máximo común divisor lo haremos de una forma similar, también partiendo de la descomposición en factores primos, pero vayamos por partes:

Mínimo común múltiplo

Para calcular el múltiplo común más bajo de dos números, o MCM, lo hacemos de la siguiente forma: obteniendo los resultados de la tabla de multiplicar correspondiente. Imagina que queremos saber cual es el múltiplo mínimo en común de dos números, 8 y 6. Observa la siguiente imagen:

Como puedes ver, nos hemos basado en las tablas de multiplicar y hemos identificado los múltiplos en común de ambos números. De las dos tablas de multiplicar hemos sacado dos múltiplos en común: 24 y 48. Como queremos saber el mínimo común, nos quedamos con 24.

Por tanto, el mcm de 8 y 6 es 24.

m.c.m. (8, 6) = 24

Calcular el mínimo común múltiplo partiendo de los resultados de las tablas de multiplicar está bien, pero no es la forma más rápida. Tal vez para números pequeños si lo sea, pero ¿Qué ocurre con números mayores? ¿Cómo lo podemos calcular? Para ello tenemos la descomposición en factores primos y la fórmula del MDM.

Descomposición en factores primos

Obtener el MCM a partir de sus tablas de multiplicar está bien para cálculos con números de poco valor, pero no es algo práctico a no ser que se trate de números pequeños. Para cantidades más altas, utilizamos una forma de descomponer los números que se llama descomposición de factores primos. A continuación vamos a ver la descomposición en factores primos, que además nos servirá para practicar divisiones y también nos será útil cuando queramos calcular el máximo común divisor, que veremos en otro post.

Por tanto, para obtener el minimo comun multiplo de dos números mediante descomposición en factores primos, deberemos tomar de dicha descomposición los factores comunes a la máxima potencia y los no comunes. Es más fácil si lo ves en un ejemplo. Observa la siguiente imagen, en la que veremos el siguiente ejemplo: mínimo común múltiplo de 180 y 200.

Observa la siguiente imagen, en la que obtenemos el MCM de las cantidades 180 y 200:

MCM = Factores comunes y no comunes elevados al máximo exponente.

Calcular el MCM

Para hacer una descomposición en factores primos escribimos el número y trazamos una línea vertical al lado derecho. A partir de ahí, vamos dividiendo, siempre entre números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13…) hasta reducir al número 1. Si necesitas repasar el concepto de números primos en matemáticas, puedes dirigirte a este post en el que te mostramos una tabla con los números primos del 1 al 100 y ejercicios que encontrarás en nuestra sección de matemáticas

Para obtener el mínimo común múltiplo de dos números mediante descomposición en factores primos, cogemos los factores comunes a la máxima potencia y los no comunes.

El primer paso para obtener el mínimo común múltiplo (mcm) es descomponer ambos números en factores primos. Debajo de la descomposición escribimos una multiplicación con todos los dividendos primos de la descomposición. Los que estén repetidos, los expresamos mediante una potencia, es decir, con el mayor exponente. Cuando tengamos los dos, obtenemos el mcm de la siguiente forma:

Creamos una multiplicación tomando los factores (comunes y no comunes). Los que son comunes, elegimos el que está elevado la máxima potencia, como has podido ver en la imagen anterior.

Ejercicios

Una vez sabemos calcularlo, te vamos a proponer algunos ejercicios.

Las siguientes fichas contienen ejercicios con números para calcular el mínimo común múltiplo (MCM). Cada una de ellas incluye cuatro ejercicios con dos números para hallar el mcm. Para descargar estas fichas, abre cada una de ellas para verlas en máxima resolución. Después, guarda la imagen para poder imprimir con tu ordenador.

El máximo común divisor se obtiene de dos o más números a partir de su descomposición en factores primos. Este cálculo matemático se aprende junto con el mínimo común múltiplo. Hoy hemos preparado algunos ejercicios para aprender a calcular el MCD (máximo común divisor).

Máximo común divisor

El máximo común divisor es el cálculo que indica el número mayor en común por el que se pueden dividir dos o más números. Al igual que el mínimo común múltiplo, el máximo común divisor se expresa de la siguiente forma. Sus siglas son MCD y en los ejercicios lo indicamos así: M.C.D (a, b), donde a y b son dos (o más) números. Un ejemplo: M.C.D. (24, 35).

Calcular el MCD

La forma de calcular el maximo comun divisor es similar al mínimo común múltiplo, pero con una diferencia. De la descomposición en factores primos, nos quedaremos únicamente con los factores comunes, elevados a la mínima potencia (menor exponente). Recuerda que para calcular el mínimo común múltiplo nos quedabamos con comunes y no comunes, y de los comunes cogíamos los de mayor exponente. En el MCD cogemos de la descomposición de factores primos solo los comunes y elevados a la mínima potencia.

Calcular el máximo común divisor: factores comunes elevados al mínimo exponente.

Veamos el mismo ejemplo que en el caso anterior, pero esta vez vamos a calcular el máximo común divisor. Observa el siguiente ejemplo en esta imagen en el que calcularemos el MCD de las cantidades 180 y 200, tal como hicimos en el apartado anterior.

MCD = Factores comunes elevados al mínimo exponente.

La descomposición en factores primos es la misma, pero la fórmula ha cambiado. En este caso, hemos calculado el máximo común divisor de nuestro ejemplo: M.C.D (180, 200). Después de la descomposición en factores primos, cogemos únicamente los factores comunes elevados al mínimo exponente. Por tanto:

M.C.M (180, 200) = 4 x 5 = 20

MCD ejercicios

En edufichas.com hemos preparado un cuaderno con ejercicios para trabajar los mcd. Cada una de estas fichas para imprimir incluye cuatro ejercicios de dos números cada uno. Si necesitas repasar el concepto de división y como dividir, siempre puedes visitar y descargar el cuaderno de ejercicios de divisiones.

MCM y MCD

Para terminar hemos preparado unos ejercicios en los que calculamos MCM y MCD. Los siguientes ejercicios sirven para repasar tanto el mínimo común múltiplo como el máximo común divisor.

Cuaderno PDF mínimo común múltiplo y máximo común divisor

Los ejercicios son los siguientes, cada una de las fichas incluye cuatro ejercicios de tres números cada uno, para calcular el mcd y mcm. También puedes ver a continuación el botón para descargar el cuaderno completo en pdf con todos los ejercicios de máximo común divisor y mínimo común múltiplo de este post.

Descargar cuaderno

Si necesitas ayuda para saber si los ejercicios están correctos o no, te recomendamos este recurso para auto corregir los ejercicios. Puedes visitar la web de calculadoras de calcuworld donde esta calculadora online de máximo común divisor te ayudará a corregir los ejercicios.